Question

【题目】已知圆：，点，.

（1）若线段的中垂线与圆相切，求实数的值；

（2）过直线上的点引圆的两条切线，切点为，若，则称点为“好点”. 若直线上有且只有两个“好点”，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出的中点坐标，直线的斜率，可得的中垂线方程，利用直线与圆相切，求解即可．
（2）连接，先求出圆的方程，直线上有且只有两个“好点”，推出圆心到直线的距离，求解即可．

解：（1）由，得：

的中点坐标为，直线的斜率为，

所以的中垂线方程为，即，

又因为的中垂线与圆相切，

所以圆心到中垂线的距离，

即；

（2）连接，

在中，，，

所以，

所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，记为圆，

则圆的方程为，

又因为直线的方程为，且直线上有且只有两个“好点”，

则直线与圆相交，

所以圆心到直线的距离，

故实数的取值范围是.