Question

（2012•枣庄二模）已知椭圆C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，且过点（1，

3

2

），椭圆C的焦点与曲线2

x

2

-2

y

2

=1的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F任作椭圆C的一条弦PQ，直线AP、AQ分别交直线x=4于M、N两点，点M、N的纵坐标分别为m、n．请问以线段MN为直径的圆是否经过x轴上的定点？若存在，求出定意的坐标，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1，

3

2

），由椭圆的定义，可得a的值，从而可求椭圆C的方程；
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0），分类讨论：①当PQ⊥x轴时，以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）²+y²=9，可得以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；②当直线PQ与x轴不垂直时，可得以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）²+（y-

m+n

2

）²=(

m-n

2

)2，验证（1，0），（7，0）在圆上

解答：解：（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1，

3

2

），
由椭圆的定义，可得2a=4，∴a=2
∴b²=a²-1=3
∴椭圆C的方程为

x 2

4

+

y 2

3

=1；
（2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0）
①当PQ⊥x轴时，P，Q的横坐标均为1，将x=1代入椭圆方程可得y=±

3

2

不妨令P（1，

3

2

），Q（1，-

3

2

）
由A，P，M三点共线，得

m-0

4-(-2)

=

3 2 -0

1-(-2)

，∴m=3
同理可得n=-3
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）²+y²=9
令y=0，可得x=1或x=7
∴以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；
②当直线PQ与x轴不垂直时，∵A（-2，0），M（4，m），∴kAM=

m-0

4-(-2)

=

m

6

∴直线AM的方程为y=

m

6

(x+2)
代入椭圆方程，整理可得（27+m²）x²+4m²x+4m²-108=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则-2与x₁是上述方程的两个实根
∴-2x₁=

4m2-108

27+m2

，∴x₁=

54-2m2

27+m2

，∴y₁=

18m

27+m2

∴P（

54-2m2

27+m2

，

18m

27+m2

）
同理可得Q（

54-2n2

27+n2

，

18n

27+n2

）
∴kFP=

y1

x1-1

=

6m

9-m2

，kFQ=

y2

x2-1

=

6n

9-n2

∵P，F，Q三点共线，∴

6m

9-m2

=

6n

9-n2

∴（m-n）（9+mn）=0
∵m≠n，∴9+mn=0，∴mn=-9
∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）²+（y-

m+n

2

）²=(

m-n

2

)2
将（1，0）代入上式的坐标，可得（1-4）²+（0-

m+n

2

）²=-mn++（

m+n

2

）²=(

m-n

2

)2
∴以线段MN为直径的圆的方程经过点（1，0）
同理（7，0）也在圆上，
综上，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查恒过定点问题，考查分类讨论的数学思想，综合性强．