Question

已知a，b是实数，二次方程x²-ax+b=0的一个根在[-1，1]上，另一个根在[1，2]上，则a-2b的最大值为

5

．

Answer 1

分析：先将方程的根的分布问题转化为二次函数的零点分布问题，数形结合得关于a、b的线性约束条件，画出可行域，数形结合求目标函数z=a-2b的最优解即可

解答：解：设f（x）=x²-ax+b，二次方程x²-ax+b=0的一个根在[-1，1]上，另一个根在[1，2]上，即函数f（x）的零点一个在[-1，1]上，另一个在[1，2]上
∴

f(-1)≥0 f(1)＜0 f(2)≥0

即

1+a+b≥0 1-a+b＜0 4-2a+b≥0

其表示的平面区域如图阴影部分：
由

1+a+b=0 4-2a+b=0

得B（1，-2）
设z=a-2b，则目标函数z可看作斜率为

1

2

的动直线在一轴上的截距的相反数，
数形结合可知当动直线过点B（1，-2）时，z最大为1-2×（-2）=5
故答案为 5

点评：本题主要考查了一元二次方程根的分布问题的解法，用简单线性规划的思想求目标函数最值的方法，数形结合的思想方法