Question

5．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左右焦点是F₁，F₂双曲线上存在点P使离心率$e=\frac{{sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠P{F_1}{F_2}}}$，则离心率e的取值范围是（1，$\sqrt{2}$+1]．

Answer 1

分析 不防设点P（x，y）在右支曲线上，并注意到x≥a．利用正弦定理求得$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{a}{c}$，结合$e=\frac{{sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠P{F_1}{F_2}}}$，进而根据双曲线定义表示出|PF₁|和|PF₂|代入，可求得e的范围．

解答 解：不妨设P（x，y）在右支曲线上，此时x≥a，
∵$e=\frac{{sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠P{F_1}{F_2}}}$=$\frac{c}{a}$，
∴$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{a}{c}$，
由正弦定理得$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{a}{c}$，
∵双曲线第二定义得：|PF₁|=a+ex，|PF₂|=ex-a，
∴$\frac{ex-a}{ex+a}$=$\frac{a}{c}$，
∴x=$\frac{a（a+c）}{ec-ea}$≥a，
分子分母同时除以a，得：$\frac{a+c}{{e}^{2}-e}$≥a，
∴$\frac{1+e}{{e}^{2}-e}$≥1解得1≤e≤$\sqrt{2}$+1，又e＞1，
故离心率e的取值范围是（1，$\sqrt{2}$+1]，
故答案为：（1，$\sqrt{2}$+1]．

点评 本题主要考查双曲线离心率的取值范围的求解，根据离心率的定义结合正弦定理以及双曲线的第二定义进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．