Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2a，b=4，$cosB=\frac{1}{4}$，a=2；c=4；△ABC的面积为$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 由余弦定理可求a，c的值，利用同角三角函数关系式可求sinB的值，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：在△ABC中，∵c=2a，b=4，$cosB=\frac{1}{4}$，
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，可得：16=a²+4a²-2a$•2a•\frac{1}{4}$，解得：a²=4，
∴a=2，c=4，
∵$cosB=\frac{1}{4}$，0＜B＜π，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×2×4×$$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\sqrt{15}$．
故答案为：2，4，$\sqrt{15}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．