Question

如图，双曲线与抛物线相交于，直线AC、BD的交点为P（0，p）。

（I）试用m表示

（II）当m变化时，求p的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）x₁x₂＝·＝＝．

（Ⅱ）p的取值范围是．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）依题意，A、B、C、D四点坐标是下面方程组的解：

消去x，得y²－y＋1－m＝0，                     2分

由Δ＝1－4(1－m)＞0，得m＞，

且y₁＋y₂＝1，y₁y₂＝1－m．

x₁x₂＝·＝＝．    6分

（Ⅱ）由向量＝(x₁，y₁－p)与＝(－x₂，y₂－p)共线，

得x₁(y₂－p)＋x₂(y₁－p)＝0，

∴p＝            9分

＝，

∵m＞，∴0＜p＜，

故p的取值范围是．                     12分

考点：双曲线、抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算。

点评：中档题，涉及曲线的位置关系问题，往往通过联立方程组，消元后，应用韦达定理，简化运算过程。本题（II）通过应用平面向量共线的条件，建立了p，m的关系，利用函数的观点，确定得到p的范围。