Question

11．在直角坐标系xOy中，直线l的斜率为$\sqrt{3}$，且与x轴交于点M（-1，0），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρsinθ+3=0．
（1）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）直线l与曲线C交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）根据极坐标和参数方程的定义进行求解即可．
（2）设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，联立方程求出结合|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|进行计算即可．

解答 解：（1）直线l的斜率为$\sqrt{3}$，且与x轴交于点M（-1，0），∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t是参数）；
由ρ²-4ρsinθ+3=0得x²+y²-4y+3=0⇒x²+（y-2）²=1；
（2）设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，把直线的参数方程代入曲线方程得（-1-$\frac{1}{2}$t）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-2）²=1，
整理得t²-（2$\sqrt{3}$+1）t+4=0，
则t₁+t₂=2$\sqrt{3}$+1，t₁t₂=4，
∴t₁＞0，t₂＞0，
则|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁|+|t₂|=2$\sqrt{3}$+1．

点评 本题主要考查参数方程，极坐标方程的应用，根据相应的转换公式进行化简是解决本题的关键．