题目内容

19．某单位有200人，其中100人经常参加体育锻炼，其余人员视为不参加体育锻炼．在一次体检中，分别对经常参加体育锻炼的人员与不参加体育锻炼的人员进行检查．按照身体健康与非健康人数统计后，构成如下不完整的2×2列联表：
健康非健康总计
经常参加体育锻炼p
不参加体育锻炼q100
总计200
已知p是（1+2x）5展开式中的第三项系数，q是（1+2x）5展开式中的第四项的二项式系数．
（Ⅰ）求p与q的值；
（Ⅱ）请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“身体健康与经常参加体育锻炼有关”．

分析 （Ⅰ）利用二项展开式的通项公式，即可求p与q的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得p=40，q=10，可完成2×2列联表，求出K2，与临界值比较，即可得出按99%的可靠性要求，能认为“身体健康与经常参加体育锻炼有关”．

解答 解：（Ⅰ）∵（1+2x）5的展开式通项是Tr+1=C5r2rxr，…（1分）
∴展开式的第三项是：T2+1=C5222x2=40x2，
即第三项系数是p=40．                                           …（3分）
又∵展开式的第四项的二项式系数为C53，
∴q=C53=10．                                                   …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得p=40，q=10，则

健康非健康总计
经常参加体育锻炼4060100
不参加体育锻炼1090100
总计50150200
…（8分）
K2=$\frac{200×（40×90-10×60）^{2}}{50×150×100×100}$=24＞6.635，…（11分）
P（K2≥6.635）=0.010，
所以按照99%的可靠性要求，能够判断“身体健康与经常参加体育锻炼有关”． …（12分）

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，独立性的检验，属于中档题．

练习册系列答案
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7．（3x-2）10的展开式的第5项的系数是（　　）
A．$C_{10}^5$B．$C_{10}^5•{3^5}•{（{-2}）^5}$C．$C_{10}^4•{3^6}•{（{-2}）^4}$D．$C_{10}^4$
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③f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
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其中真命题的序号是①②．
11．已知sin（π-θ）-cos（$\frac{π}{2}$+θ）=2$\sqrt{3}$cos（2π-θ），则sinθcosθ-cos2θ=（　　）
A．$\frac{1-\sqrt{3}}{4}$B．$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$C．-$\frac{1}{2}$D．$\frac{1}{2}$
8．某研究中心为研究运动与性别的关系得到2×2列联表如表：
喜欢数学课不喜欢数学课合计
男生602080
女生101020
合计7030100
则随机变量K2的观测值约为（　　）
A．4.762B．9.524C．0.0119D．0.0238
9．设点P在椭圆x2+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1上，点Q在直线y=x+4上，若|PQ|的最小值为$\sqrt{2}$，则m=$\sqrt{3}$．

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