Question

20．（1）在△ABC中，AB=2，BC=$\frac{3}{2}$，∠ABC=120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是多少？
（2）已知四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD=AC=1．求EF的长度．

Answer 1

分析 （1）△ABC绕BC旋转一周形成一个组合体，该组合体可看成圆锥CD中挖去一个小圆锥BD得到的．利用V_几何体=V_大圆锥-V_小圆锥求解即可．
（2）取BC中点O，连接OE，OF，说明∠EOF即为AC与BD所成的角或其补角．推出∠EOF=60°或∠EOF=120°．然后求解即可．

解答 解：（1）如图，△ABC绕BC旋转一周形成一个组合体，该组合体可看成圆锥CD中挖去一个小圆锥BD得到的．

∵∠ABD=60°，AB=2，
∴AD=$\sqrt{3}$，BD=1．
∴V_几何体=V_大圆锥-V_小圆锥
=$\frac{1}{3}$π•AD²•CD-$\frac{1}{3}$π•AD²•BD
=$\frac{1}{3}$π×（$\sqrt{3}$）²×（$\frac{3}{2}$+1-1）=$\frac{3}{2}$π．
（2）解：如图，取BC中点O，连接OE，OF，
∵OE∥AC，OF∥BD，

∴∠EOF即为AC与BD所成的角或其补角．
而AC，BD所成的角为60°，
∴∠EOF=60°或∠EOF=120°．
当∠EOF=60°时，EF=OE=OF=$\frac{1}{2}$；
当∠EOF=120°时，取EF中点M，则OM⊥EF，
EF=2EM=2OE•cos 30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查空间几何体的体积以及点、线、面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．