Question

8．设函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0）．f（α）=一$\sqrt{2}$，f（β）=0．且|α-β|最小值为$\frac{π}{4}$．
（1）求f（x）的最小正周期：
（2）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由题意利用正弦函数的图象的周期性求得ω，可得函数的最小正周期．
（2）由条件利用正弦函数的减区间求得f（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$）满足f（α）=一$\sqrt{2}$，f（β）=0，且|α-β|最小值为$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{4}$，求得ω=2．
故函数的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由以上可得，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得 kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，k∈Z，故函数的减区间为[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．