Question

设函数f(x)=

2-x，x∈(-∞，1] (log3x-1)(log3x-2)，x∈(1，+∞)

（Ⅰ）求f(log2

1

2

)的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由log2

1

2

=-1代入到f（x）=2^-x可求
（Ⅱ）x≤1时，f(x)=2-x=(

1

2

)x在（-∞，1]上为减函数可得函数的最小值为f（1）；x＞1时，f（x）=（log₃x-1）（log₃x-2）=(log3x)2-3log3x+2=(log3x-

3

2

)2-

1

4

，由x＞1可得log₃x＞0，结合二次函数的性质可求

解答：解：（Ⅰ）∵log2

1

2

=-1…（2分）
∴f(log2

1

2

)=f(-1)=2…（4分）
（Ⅱ）x≤1时，f(x)=2-x=(

1

2

)x在（-∞，1]上为减函数
∴f(x)min=f(1)=

1

2

…（7分）
x＞1时，f（x）=（log₃x-1）（log₃x-2）=(log3x)2-3log3x+2=(log3x-

3

2

)2-

1

4

…（8分）
∵x＞1，∴log₃x＞0…（9分）
∴当log3x=

3

2

即x=3

3

2

=3

3

时，f（x）取得最小值-

1

4

．…（11分）
因为-

1

4

＜

1

2

，所以f（x）的最小值是-

1

4

．…（12分）

点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，及利用函数的单调性求解函数的最值，二次函数在区间上的最值的求解，属于函数知识的简单应用．