题目内容

设函数f(x)=2
-x2+x+2
,对于给定的正数K,定义函数fK(x)=
f(x),f(x)≤K
K,f(x)>K
若对于函数f(x)=2
-x2+x+2
定义域内的任意 x,恒有fK(x)=f(x),则(  )
A、K的最大值为2
2
B、K的最小值为2
2
C、K的最大值为1
D、K的最小值为1
分析:由已知中函数f(x)=2
-x2+x+2
,对于给定的正数K,定义函数fK(x)=
f(x),f(x)≤K
K,f(x)>K
若对于函数f(x)=2
-x2+x+2
定义域内的任意 x,恒有fK(x)=f(x),则f(x)的最大值小于等于M,求出函数的值域,即可确定满足条件的M的范围,进而得到答案.
解答:解:∵函数f(x)=2
-x2+x+2
的值域为(0,2
2
]
由已知中函数fK(x)=
f(x),f(x)≤K
K,f(x)>K

结合对于函数f(x)=2
-x2+x+2
定义域内的任意 x,恒有fK(x)=f(x),
故M≥2
2

即K的最小值为2
2

故选B
点评:本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义,其中根据指数函数的性质,二次函数的图象和性质,确定出函数f(x)=2
-x2+x+2
的值域是解答本题的关键.
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