Question

数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝2，a_n+2＝(1＋cos²)a_n＋sin²，n＝1，2，3…．

(Ⅰ)求a₃，a₄并求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)设，S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n．证明：当n≥6时，|S_n－2|＜．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)因为

　　

　　一般地，当时，

　　＝，即

　　所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此

　　当时，

　　所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此

　　故数列的通项公式为

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

　　…………………………①

　　…………………②

　　①－②得，

　　

　　所以

　　要证明当时，成立，只需证明当时，成立．

　　证法一

　　(1)当n＝6时，成立．

　　(2)假设当时不等式成立，即

　　则当n＝k＋1时，

　　由(1)、(2)所述，当n≥6时，，即当n≥6时，

　　证法二

　　令，则

　　所以当时，．因此当时，

　　于是当时，

　　综上所述，当时，