Question

【题目】已知函数为常数）.曲线在点处的切线与轴平行.

(Ⅰ) 求的值；

(Ⅱ) 求函数的单调区间；

(Ⅲ) 设,其中为的导函数.

证明：对任意，.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；

(Ⅱ) 的单调递增区间为，单调递减区间为；

(Ⅲ)见解析.

【解析】

(Ⅰ)由题意，求出函数的导函数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；

(Ⅱ)利用导数解出函数的单调区间即可.

(Ⅲ)等价于 设，且的最大值为.则. 设且，从而有则 .

因此，对任意，.

(Ⅰ) 解:由可得.

而，即，解得.

(Ⅱ) 解:由(Ⅰ)知，

设，则.即在上是减函数.

由知，当时，，从而；

当时，，从而.

综上可知，的单调递增区间为，单调递减区间为.

(Ⅲ) 证明:因为，所以，.

对任意，等价于.

设，，

则，.

当时，，故有单调递增.

当时，，故有单调递减.

所以，的最大值为.则.

设

因为，所以当时，，单调递增.

则.即，从而有.

则 .

因此，对任意，.