Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≤1}\\{2x+3，x＞1}\end{array}\right.$
（1）求f（3x-1）；
（2）若f（3a-1）=$\frac{3}{2}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）利用代入法，结合函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≤1}\\{2x+3，x＞1}\end{array}\right.$，可得f（3x-1）的解析式；
（2）根据（1）中结论，分类讨论满足f（3a-1）=$\frac{3}{2}$的a值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≤1}\\{2x+3，x＞1}\end{array}\right.$，
当3x-1≤1，即x≤$\frac{2}{3}$时，f（3x-1）=（3x-1）²=9x²-6x+1
当3x-1＞1，即x＞$\frac{2}{3}$时，f（3x-1）=2（3x-1）+3=6x+1，
∴f（3x-1）=$\left\{\begin{array}{l}9{x}^{2}-6x+1，x≤\frac{2}{3}\\ 6x+1，x＞\frac{2}{3}\end{array}\right.$，
（2）由（1）知，
f（3a-1）=$\left\{\begin{array}{l}9{a}^{2}-6a+1，a≤\frac{2}{3}\\ 6a+1，a＞\frac{2}{3}\end{array}\right.$
当a≤$\frac{2}{3}$时，由f（3a-1）=9a²-6a+1=$\frac{3}{2}$得：a=$\frac{2-\sqrt{6}}{6}$，或a=$\frac{2+\sqrt{6}}{6}$（舍去），
当a＞$\frac{2}{3}$时，由f（3a-1）=6a+1=$\frac{3}{2}$得：a=$\frac{1}{12}$（舍去），
综上所述，若f（3a-1）=$\frac{3}{2}$，则a=$\frac{2-\sqrt{6}}{6}$

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值，难度不大，属于基础题．