Question

已知函数f（x）=x²+（m-1）x+m，（m∈R）
（1）若f（x）是偶函数，求m的值．
（2）设g（x）=，x∈[，4]，求g（x）的最小值．

Answer 1

解：（1）由于二次函数函数f（x）=x²+（m-1）x+m 的对称轴为 x=，且函数为偶函数，故它的对称轴为y轴，故有 =0，m=1．
（2）由于函数g（x）==x+（m-1）+，
①当 ≤≤4时，即≤m≤16时，由基本不等式可得g（x）的最小值为2+m-1，当且仅当x=时，取得最小值．
②当＞4，即 m＞16时，由于函数g（x）在[，4]上是减函数，故g（x）的最小值为g（4）=3+m．
③当m＜时，函数g（x）在[，4]上是增函数，故g（x）的最小值为g（）=5m-．
综上可得，g_min（x）=．
分析：（1）根据题意可得，二次函数的对称轴为y轴，即x=0，由此可得m的值．
（2）根据函数g（x）==x+（m-1）+，分①当 ≤≤4时、②当＞4、③当m＜时，三种情况，分别利用函数的单调性求得g（x）的最小值．
点评：本题主要考查函数的奇偶性的性质，利用函数的单调性求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．