题目内容

向量
a
=(sinωx+cosωx，1)，
b
=(f(x)，sinωx)，其中0＜ω＜1，且
a
∥
b
．将f（x）的图象沿x轴向左平移
π
4
个单位，沿y轴向下平移
1
2
个单位，得到g（x）的图象，已知g（x）的图象关于(
π
4
，0)对称．
（1）求ω的值；
（2）求g（x）在[0，4π]上的单调递增区间．
分析：（1）通过
a
∥
b
推出函数f（x）的表达式，化简为 一个角的一个三角函数的形式，利用图象变换后关于(
π
4
，0)对称，求出ω的值．
（2）由（1）得到g（x），利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间，然后求出g（x）在[0，4π]上的单调递增区间．
解答：解：（1）因为
a
∥
b
，所以f（x）=sinωx（sinωx+cosωx）=sin2ωx+sinωxcosωx=
1
2
（1-cos2ωx）+
1
2
sin2ωx=
1
2
+
2
2
sin(2ωx-
π
4
)
而g（x）=
2
2
sin[2ω(x+
π
4
)-
π
4
]关于(
π
4
，0)对称，所以
2
2
sin[2ω(x+
π
4
)-
π
4
]=0，2ω(x+
π
4
)-
π
4
=kπ，k∈Z
∴ω=k+
1
4
，由k∈Z，0＜ω＜1得ω=
1
4
．
（2）g（x）=
2
2
sin (
x
2
-
π
8
)．由-
π
2
+2kπ≤ 
x
2
-
π
8
≤ 2kπ+
π
2
  k∈Z
得-
3π
4
+4kπ≤x≤
5π
4
+4kπ  k∈Z又x∈[0，4π]且k=0时，-
3π
4
≤x≤
5π
4
，k=1时
13π
4
≤x≤
21π
4
，
所以g（x）在[0，4π]上的单调递增区间为[0，
5π
4
]，[ 
13π
4
，4π]
点评：本题是中档题，考查向量的数量积，三角函数的化简求值，三角函数的图象的变换，正弦函数的单调性的应用，考查计算能力，常考题型．
练习册系列答案
相关题目
已知平面向量
a
=(sin(π-x))，
b
=(
3
，cosx)，函数f(x)=
a
•
b
．
（1）写出函数f（x）的单调递减区间；
（2）设g(x)=f(x-
π
6
)+1，求直线y=2与y=g（x）在闭区间[0，π]上的图象的所有交点坐标．
已知向量
a
=(sinωx，1)，
b
=(
3
，cosωx)，ω＞0，记函数f（x）=
a
•
b
，若f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）若x∈(0，
π
3
]，求此时函数f（x）的值域．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量a=(sinωx，cosωx)，b=(cosωx，
3
cosωx)（ω＞0），函数f(x)=
a
•
b
-
3
2
的最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的单调增区间；
（II）如果△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足b2+c2=a2+
3
bc，求f（A）的值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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