题目内容

已知向量a=(sinωx，cosωx)，b=(cosωx，
3
cosωx)（ω＞0），函数f(x)=
a
•
b
-
3
2
的最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的单调增区间；
（II）如果△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足b2+c2=a2+
3
bc，求f（A）的值．
分析：（I）利用向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式化简函数．利用f（x）的最小正周期为π，可求ω的值，从而可得函数的解析式，利用三角函数的单调性，即可得到函数f（x）的增区间；
（II）由b2+c2=a2+
3
bc，及cosA=
b2+c2-a2
2bc
，可求得A=
π
6
，进而可求f（A）的值．
解答：解：（I）f(x)=
a
•
b
-
3
2
=sinωxcosωx+
3
cos2ωx-
3
2
=
1
2
sin2ωx+
3
2
cos2ωx
=sin(2ωx+
π
3
)…（3分）
∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0．
∴
2π
2ω
=π，解得ω=1，…（4分）
∴f(x)=sin(2x+
π
3
)．
由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
≤
π
2
+2kπ，k∈Z…（5分）
得f（x）的增区间为[-
5
12
π+kπ，
π
12
+kπ](k∈Z)…（6分）
（II）由b2+c2=a2+
3
bc，∴b2+c2-a2=
3
bc，
又由cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
3
bc
2bc
=
3
2
…（8分）
∴在△ABC中，A=
π
6
…（9分）
∴f(A)=sin(2×
π
6
+
π
3
)=sin
2π
3
=
3
2
…（12分）
点评：本题考查三角函数式的化简，考查数量积公式的运用，考查余弦定理的运用，解题的关键是三角函数式的化简．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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