题目内容

已知实数x，y同时满足 $数学公式$ ， $数学公式$ ，27^y-4^x≤1，则x+y的取值范围是________．

$\text{[math]}$
分析：题目给出了一个等式和两个不等式，分析给出的等式的特点，得到当x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ 时该等式成立，同时把相应的x和y的值代入后面的两个不等式等号也成立，把给出的等式的左边变负指数幂为正指数幂，分析x和y的变化规律，知道y随x的增大而减小，而当x增大y减小时，两不等式不成立，因此断定，同时满足等式和不等式的x，y取值唯一，从而可得x+y的取值范围．
解答：当x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ 知，等式右边一定，左边y随x的增大而减小，
而当y减小x增大时，log₂₇y-log₄x＜ $\text{[math]}$ ，
当x减小y增大时，27^y-4^x＞1．
均与题中所给条件不等式矛盾．
综上，只有x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ 时，条件成立，
所以x+y的取值范围为{ $\text{[math]}$ }．
故答案为{ $\text{[math]}$ }．
点评：本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数式的运算性质，考查了特值验证法，培养了学生的探究能力，此题是中档题．