Question

已知实数x，y同时满足4-x+27-y=

5

6

，log27y-log4x≥

1

6

，27^y-4^x≤1，则x+y的取值范围是

{

5

6

}

．

Answer 1

分析：题目给出了一个等式和两个不等式，分析给出的等式的特点，得到当x=

1

2

，y=

1

3

时该等式成立，同时把相应的x和y的值代入后面的两个不等式等号也成立，把给出的等式的左边变负指数幂为正指数幂，分析x和y的变化规律，知道y随x的增大而减小，而当x增大y减小时，两不等式不成立，因此断定，同时满足等式和不等式的x，y取值唯一，从而可得x+y的取值范围．

解答：解：当x=

1

2

，y=

1

3

时，
4-x+27-y=4-

1

2

+27-

1

3

=

1

2

+

1

3

=

5

6

，
log27y-log4x=log27

1

3

-log4

1

2

=-

1

3

+

1

2

=

1

6

，
27y-4x=27

1

3

-4

1

2

=3-2=1．
由4-x+27-y=

1

4x

+

1

27y

=

5

6

知，等式右边一定，左边y随x的增大而减小，
而当y减小x增大时，log₂₇y-log₄x＜

1

6

，
当x减小y增大时，27^y-4^x＞1．
均与题中所给条件不等式矛盾．
综上，只有x=

1

2

，y=

1

3

时，条件成立，
所以x+y的取值范围为{

5

6

}．
故答案为{

5

6

}．

点评：本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数式的运算性质，考查了特值验证法，培养了学生的探究能力，此题是中档题．