Question

过双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0）的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线E的两条渐近线相交于B，C两点，且|AB|=|BC|，则双曲线E的离心率为

10

．

Answer 1

分析：先根据条件求出直线l的方程，联立直线方程与渐近线方程分别求出点B，C的横坐标，结合B为AC的中点求出b，a间的关系，进而求出双曲线的离心率．

解答：解：由题得：双曲线：的左顶点A（a，0）
所以所作斜率为1的直线l：y=x+a，
若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
联立其中一条渐近线y=-

b

a

x，则

y=x+a y=- b a x

，解得x₁=

a2

-a-b

①；
同理联立

y=x+a y= b a x

，解得x₂=

a2

b-a

  ②；
又因为|AB|=|BC|，
故B是A，C的中点，
∴x₁=

x2+a

2

⇒2x₁=x₂+a，
把①②代入整理得：b=3a，
∴e=

c

a

=

a2+b2

a

=

10 a

a

=

10

．
故答案为；  

10

．

点评：本题考题双曲线性质的综合运用，解题过程中要注意由|AB|=|BC|得到B是A，C的中点这以结论的运用．