Question

在平面直角坐标系xOy中，双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，过双曲线E的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B，C两点，若△ABC为直角三角形，则双曲线E的离心率为

 

．

Answer 1

分析：利用双曲线方程算出A（c，

b2

a

）、B（c，-

b2

a

），由双曲线的性质得△ABC为等腰直角三角形，可得A到BC的距离等于BC长的一半，由此建立关于a、b、c的等式，化简整理为关于离心率的方程，即可解出双曲线E的离心率．

解答：解：∵过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B，C两点，
∴设x=c，得

c2

a2

-

y2

b2

=1，解之得y=±

b2

a

，得A（c，

b2

a

）、B（c，-

b2

a

）
∵左顶点A（-a，0）与B、C构成直角三角形，
∴根据双曲线的对称性，得A到BC的距离等于BC长的一半，
可得c+a=

b2

a

，即c+a=

c2-a2

a

，化简得c²-ac-2a²=0
两边都除以a²，得e²-e-2=0，解之得e=2（舍负）
即双曲线E的离心率为2
故答案为：2

点评：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直角三角形的性质等知识，属于中档题．