Question

（2010•武汉模拟）过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点F的直线l与双曲线右支相交于A、B两点，以线段AB为直径的圆被右准线截得的劣弧的弧度数为

π

2

，那么双曲线的离心率e=

2

．

Answer 1

分析：先由以线段AB为直径的圆被右准线截得的劣弧的弧度数为

π

2

，利用直线与圆相交的几何性质求出AB中点C到准线的距离，再利用双曲线第二定义和梯形中位线定理，列方程即可解得离心率

解答：解：设|AB|=2R，C为AB中点，CE⊥DG，AD⊥DG，BG⊥DG，DG为双曲线的右准线
∵线段AB为直径的圆被右准线截得的劣弧的弧度数为

π

2

，
∴|CE|=

2

2

R=

1

2

（|AD|+|BG|）
∴|AD|+|BG|=

2

R
∵|AF|=e|AD|，|BF|=e|BG|
∴|AB|=|AF|+|BF|=e（|AD|+|BG|）
∴2R=e×

2

R
∴e=

2

故答案为

2

点评：本题考查了双曲线的定义及其几何性质，直线与圆相交的位置关系及其几何性质，离心率的求法