Question

设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线交椭圆于两点，为椭圆上一点，求面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，椭圆的长轴为及，求得的值，进而求得椭圆的方程；（Ⅱ）将直线与（Ⅰ）求得的椭圆方程联立，利用韦达定理和，利用弦长公式及点到直线的距离，求得的面积，同时，进而求得的面积的最大值.

试题解析：（Ⅰ）双曲线的离心率为 （1分），

则椭圆的离心率为 （2分）， 2a=4， （3分）

由 ，故椭圆M的方程为． （5分）

（Ⅱ）由，得， （6分）

由，得﹣2＜m＜2

∵，． （7分）

∴= （9分）

又P到AB的距离为． （10分）

则

， （12分）

当且仅当取等号 （13分）

∴． （14分）

考点：1.椭圆的标准方程；2.韦达定理；3.弦长公式.