Question

设数列为等比数列，数列满足，，已知，，其中.
(Ⅰ) 求数列的首项和公比；
(Ⅱ) 当时，求；
(Ⅲ) 设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

解：(Ⅰ) 由已知，所以，
， 所以，
解得，所以数列的公比.……………………………2分
(Ⅱ) 因为 ，
，……………①
，……………②
②①得，…………………………4分
所以，
当时，.………………………………6分
(Ⅲ)，………………………………7分
因为，所以，由得，
注意到，当为奇数时，当为偶数时，
所以最大值为，最小值为.………………………………9分
对于任意的正整数都有，
所以，.
即所求实数的取值范围是.……………………………………10分

本试题主要是考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列前n项和的运用。
（1）因为设数列为等比数列，数列满足，，已知，，其中，那么可知由已知，所以，
， 所以，
解得，所以数列的公比
（2）利用错位相减法得到数列b_n的公式。
（3）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有
因为，可以解得。