Question

【题目】已知．

（1）讨论时，的单调性、极值；

（2）求证：在(1)的条件下，；

（3）是否存在实数a，使的最小值是3，如果存在，求出a的值；若不存在，

请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 当时单调递减；当时，此时单调递增；

的极小值为；

(2) 证明过程见详解；

(3)存在实数，使得当时，有最小值3．

【解析】

(1) 先对函数求导，得到∵，利用导数的方法研究函数单调性，进而可求出极值；

(2) 先由（1）求出；再令，用导数方法研究单调性，求出的最大值，进而可证明结论成立；

(3) 先假设存在实数a，使有最小值3，用分类讨论的思想，分别讨论 ，两种情况，结合导数的方法，即可得出结果.

(1) ∵

∴ 当时，单调递减；

当时，，此时单调递增；

∴的极小值为；

(2) 因为的极小值即在上的最小值为1，

所以；

令

又∵

∴ 当时，；

∴上单调递减；

∴

∴ 当时，；

(3) 假设存在实数a，使有最小值3，

①当时，由于，则；

∴ 函数是上的增函数，

∴，（舍去）

②当时，则当时，，此时是增函数；

当，，此时是增函数；

∴，解得；

由①、②知，存在实数，使得当时，有最小值3．