Question

【题目】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为、，，是轴的正半轴上一点，交椭圆于，且，的内切圆半径为1.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点为圆上一点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设内切圆与三角形各边的切点，再由直角三角形中，由勾股定理可得椭圆的值，再由可得的值，由，，之间的关系求出椭圆的方程；

（2）由（1）得直线的方程，由圆心到直线的距离为半径1，求出圆的圆心坐标，可得圆的方程，设的参数坐标，可得数量积的表达式，进而求出其取值范围．

解：（1）设的内切圆切，，于，，连接，，

因为，因为，所以四边形为正方形，所以，

设，，由，且，有，则，，

由得，有，

故，即，，

所以椭圆的方程的标准方程：；

（2）设点，其到直线的距离为1，

有，解得或（舍），即.

故圆的方程为，

设，

由，，

所以，

有

因为

所以

故为.