Question

【题目】如图，在直角梯形中，，，平面平面，，，分别在线段和上，且，是等腰直角三角形．

（1）若，求证：平面．

（2），是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，

【解析】

（1）根据题意分析可得是等腰三角形，可得，进而可得，进而可得，即可得到结论；

（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得，，，进而可得平面的一个法向量，再利用，得方程解得即可得到结论.

（1）连接，，．

又是等腰三角形，．

在直角梯形中，，故为直角三角形，

在中，，

，，在中，．

在中，，故，平面，

平面，平面．

（2）如图，过作且，连接得四边形为矩形．以为原点，，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，

则，，．

设的中点为，连接，

，，平面平面，平面，平面平面，

平面．

是等腰直角三角形，，，

，，，．

设平面的一个法向量为，

则

令，得．

设与平面所成的角为，

则，

化简得，解得或（舍去），

存在实数，使得与平面所成的角的正弦值为，此时．