Question

【题目】已知双曲线以、为焦点，且过点

（1）求双曲线与其渐近线的方程；

（2）是否存在斜率为2的直线与双曲线右支相交于两点，且（为坐标原点）.若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）， （2）存在，

【解析】

（1）设出双曲线C方程，利用定义求得a，进而得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；

（2）设直线l的方程为y＝2x+t，将其代入方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过△＞0，及韦达定理求出t的范围，通过x1x2+y1y2＝0，求解t即可得到直线方程．

（1）设双曲线C的方程为，半焦距为c，

则c＝2，，a＝1，

所以b2＝c2﹣a2＝3，

故双曲线C的方程为．　　　　　　　　　

双曲线C的渐近线方程为．　　　　　　　

（2）假设直线存在，设直线l的方程为y＝2x+t，将其代入方程，

可得x2+4tx+t2+3＝0（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根，

故

又由，可知x1x2+y1y2＝0，

即x1x2+（2x1+t）（2x2+t）＝0，可得，

解得（舍去）

所以存在直线l方程为．