Question

已知n条直线：l₁：x-y+C₁=0，C₁=

2

且l₂：x-y+C₂=0，l₃：x-y+C₃=0，…，l_n：x-y+C_n=0，其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n，这n条平行直线中，每相邻两条之间的距离顺次为2，3，4，…，n．
（1）求C_n；
（2）求x-y+C_n=0与x轴、y轴围成的图形的面积．

Answer 1

分析：（1）原点O到l₁的距离d₁=1，由点到直线的距离公式求出O到l_n的距离：d_n =1+2++n，据C_n=

2

d_n ，可求C_{n 的值}．
（2）由这组平行线的斜率等于1知，围成的图形是个等腰直角三角形，设直线l_n：x-y+C_n=0交x轴于点M，交y轴于点N，
S_△OMN=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

（C_n）²，把C_n 的值代入可求得结果．

解答：解：（1）由已知条件可得l₁：x-y+

2

=0，则原点O到l₁的距离d₁=1，
由平行直线间的距离可得原点O到l_n的距离d_n为：1+2++n=

n(n+1)

2

，
∵C_n=

2

d_n，∴C_n=

2 •n(n+1)

2

．
（2）设直线l_n：x-y+C_n=0交x轴于点M，交y轴于点N，则△OMN的面积
S_△OMN=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

（C_n）²=

n2(n+1)2

4

．

点评：本题考查平行线间的距离公式及点到直线的距离公式的应用，直线方程的应用，体现了转化的数学思想．