Question

【题目】已知直线方程为，其中.

（1）求证：直线恒过定点；

（2）当变化时，求点到直线的距离的最大值及此时的直线方程；

（3）若直线分别与轴轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时的直线方程.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）距离的最大值：，直线方程：（3）面积的最小值为，直线的方程为.

【解析】

（1）直线的方程化为：，令，解出即可得出直线经过定点．

（2）设定点为,当变化时，直线时，点到直线的距离的最大，此时直线与垂直，可求直线方程．

（3）直线的斜率存在且，因此可设直线的方程为，求出直线在轴、轴的截距．可得的面积，利用基本不等式的性质即可得出结果．

（1）直线方程为，

可化为对任意都成立，

所以，解得，

所以直线恒过定点.

（2）设定点为

当变化时，直线时，

点到直线的距离最大，可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，

即，

此时直线过点且与垂直，

∴，解得

故直线的方程为.

（3）由于直线经过定点．直线的斜率存在且，

因此可设直线方程为

可得与轴、轴的负半轴交于，两点

∴，，解得．

∴

当且仅当时取等号，面积的最小值为4

此时直线的方程为：，化为：．