题目内容
| OP |
| OA |
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| ||
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分析：根据题中向量等式，化简可得
=λ(
+
)=λ
，其中
是与
、
方向相同的单位向量之和，点P在射线AF上运动．由向量加法的平行四边形法则可得AF平分∠BAC，所以点P的轨迹为∠BAC的平分线，从而得到△ABC的内心在点P的轨迹上，可得答案．
| AP |
| ||
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| ||
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| AF |
| AF |
| AB |
| AC |
解答：解：∵
、
分别表示与向量
、
方向相同的单位向量，
∴设
=
、
=
，则
=
=1，
以AD、AE为邻边作平行四边形ADFE，可得
=
+
=
+
，
∴四边形ADFE是菱形，可得AF平分∠BAC．
又∵
=
+λ(
+
)，λ∈[0，+∞)，
∴
=
-
=λ(
+
)=λ
，可得点P在射线AF上运动．
由于△ABC的内心在∠BAC的平分线上，所以点P的轨迹一定经过△ABC的内心．
故选：B
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| AB |
| AC |
∴设
| AD |
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| AE |
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| |AD| |
| |AE| |
以AD、AE为邻边作平行四边形ADFE，可得
| AF |
| AD |
| AE |
| ||
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| ||
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|
∴四边形ADFE是菱形，可得AF平分∠BAC．
又∵
| OP |
| OA |
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∴
| AP |
| OP |
| OA |
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| AF |
由于△ABC的内心在∠BAC的平分线上，所以点P的轨迹一定经过△ABC的内心．
故选：B
点评：本题给出三角形中的点P满足的向量等式，求P的轨迹经过三角形的哪一个心．着重考查了向量的加法法则、向量共线的条件和三角形的“五心”等知识，属于中档题．
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