题目内容

O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线三点，平面α内的动点P满足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，若λ=
1
2
时，
PA
•(
PB
+
PC
)的值为
 
．
分析：把已知的等式进行等价变形得 
BP
=
PC
，故有
PC
+
PB
=
0
，代入所求的式子进行化简．
解答：解：∵动点P满足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，∴
AP
=λ （
AB
+
AC
）=
1
2
（
AB
+
AC
），
∴2
AP
=
AB
+
AC
，
AP
-
AB
=
AC
-
AP
，
BP
=
PC
，
∴
PC
+
PB
=
0
，∴
PA
•(
PB
+
PC
)=
PA
•
0
=0，
故答案为：0．
点评：本题考查向量的加减运算，两个向量的数量积，体现了等价转化的数学思想．
练习册系列答案
相关题目
设S、V分别表示面积和体积，如△ABC面积用S△ABC表示，三棱锥O-ABCV的体积用VO-ABC表示．对于命题：如果O是线段AB上一点，则|
OB
|•
OA
+|
OA
|•
OB
=
0
．将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC•
OA
+S△OCA•
OB
+S△OBA•
OC
=
0
．将它类比到空间的情形应该是：若O是三棱锥A-BCD内一点，则有
VO-BCD•
OA
+VO-ACD•
OB
+VO-ABD•
OC
+VO-ABC•
OD
=
0
VO-BCD•
OA
+VO-ACD•
OB
+VO-ABD•
OC
+VO-ABC•
OD
=
0
．
下列命题：
①若
a
与
b
共线，则存在唯一的实数λ，使
b
=λ
a
；
②空间中，向量
a
、
b
、
c
共面，则它们所在直线也共面；
③P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面ABC上的射影．若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC垂心．
④若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点．
OM
=
1
3
OA
+
1
3
OB
+
1
3
OC
，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．
上述命题中正确的命题是
③④
③④
．
下列命题：
①若向量
a
与向量
b
共线，向量
b
与向量
c
共线，则向量
a
与向量
c
共线；
②若向量
a
与向量
b
共线，则存在唯一实数λ，使
b
=λ
a
；
③若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，且
OM
=
1
3
OA
+
1
3
OB
+
1
3
OC
，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC的内部．
上述命题中的真命题个数为（　　）
在△ABC中，O是平面ABC上的一点，动点P满足
OP
=
OA
+λ(
OB
+
OC
)，λ∈R，则点P的轨迹过△ABC的（　　）

设S、V分别表示面积和体积，如△ABC面积用S△ABC表示，三棱锥O－ABC的体积用VO－ABC表示．对于命题：如果O是线段AB上一点，则||·＋||·＝.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝.将它类比到空间的情形应该是：若O是三棱锥A－BCD内一点，则有___________________________

 

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