Question

如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）详见试题分析；（2）直线与平面所成角的正弦值为；（3）．

解析试题分析：（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明。也可以利用综合法：要证，由于是异面直线，可将问题转化为证明线面垂直。由于点为棱的中点，可以先取中点，连结，从而可证得。由线面垂直的判定定理易证平面，从而，最后证得；（2）向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直线与平面所成角的正弦值．综合法：在（I）的基础上，可先证明为直线与平面所成的角，在直角三角形中，利用锐角三角函数即可求得直线与平面所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式来求二面角的余弦值．综合法：先利用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角，再利用解三角形的有关知识求其余弦值．
（方法一）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，，．由为棱的中点，得．

（1）向量，，故． ∴．
（2）向量，．设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量．于是有，∴直线与平面所成角的正弦值为．
（3）向量，，，．由点在棱上，设，，故，由，得，因此，，解得，即．设为平面的法向量，则即