Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．若点P是线段F₁Q的中点，且QF₁⊥QF₂，则此双曲线的离心率等于（　　）

• A．

  6

• B．

  5

• C．2
• D．

  3

Answer 1

分析：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），两条渐近线方程为y=-

b

a

x，y=

b

a

x，由过F₁的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．点P是线段F₁Q的中点，且QF₁⊥QF₂，知PF₁⊥OP，所以过F₁的直线PQ的方程为：y=

a

b

(x+c)，解方程组

y=- b a x y= a b (x+c)

，得P（-

a2

c

，

ab

c

），所以|PF₁|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF₁|=|OF₂|=|OQ|=c，|QF₂|=2a，再由余弦定理，能求出此双曲线的离心率．

解答：解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，
∴F₁（-c，0），F₂（c，0），双曲线的两条渐近线方程为y=-

b

a

x，y=

b

a

x，
∵过F₁的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．点P是线段F₁Q的中点，且QF₁⊥QF₂，
∴PF₁⊥OP，
∴过F₁的直线PQ的斜率kPQ=

a

b

，
∴过F₁的直线PQ的方程为：y=

a

b

(x+c)，
解方程组

y=- b a x y= a b (x+c)

，得P（-

a2

c

，

ab

c

），
∴|PF₁|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF₁|=|OF₂|=|OQ|=c，|QF₂|=2a，
∵tan∠QOF₂=

b

a

，∴cos∠QOF₂=

a

c

，
由余弦定理，得cos∠QOF₂=

c2+c2-4a2

2c2

=1-

2a2

c2

=

a

c

，
∴1-

2

e2

=

1

e

，即e²-e-2=0，
解得e=2，或e=-1（舍）
故选C．

点评：本题考查双曲线的性质和双曲线与直线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意余弦定理的合理运用．