Question

已知点P（2,1）在双曲线=1，且它和双曲线一个焦点F的距离是1，

（1）求双曲线的方程；

（2）过点F的直线l，交双曲线于A、B两点，若弦长|AB|不超过4，求l的倾斜角范围.

Answer 1

解析：（1）设焦点F（c,0），由题意得

（-c）²+1=1,∴c=,

则点F的坐标为（,0），∴a²+b²=2.                                            ①

又∵P（,1）在双曲线上，

∴=1.                                                                              ②

由①②得a²=1或a²=4（舍去），

∴b²=1.

从而双曲线方程为x²-y²=1.

（2）①当直线l斜率存在时，设l:y=k(x-)代入双曲线方程得：

（1-k²）x²+2k²x-2k²-1=0.

|AB|²=(1+k²)［(x₁+x₂)²-4x₁x₂］=≤4².

即-2≤≤2,

解得k²≤或k²≥3.

∴-≤k≤或k≤-或k≥.

∴0≤α≤或≤α＜,

＜α≤或≤α＜π.

②当直线l的斜率不存在时,容易验证也满足题意.此时倾斜角为.

∴l的倾斜角的范围是［0,］∪［,］∪［,π］.