Question

如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(1)求椭圆E的方程；
(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．
（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．

Answer 1

（1）；（2）满足条件的点Q存在，且有两个.

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，考查学生的转化思想和数形结合思想，考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先由长轴长得到a的值，设出椭圆的标准方程，利用已知条件数形结合得到C点坐标，将C点坐标代入到椭圆中，得到b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先设出Q点坐标，利用已知等式计算，可知点Q在直线上，点在直线上，而在椭圆内部，数形结合得存在点Q而且存在2个；法二：用和椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，看方程的判别式，判别式大于0时，方程有2个根，则直线与椭圆有2个交点；第三问，设出点P的坐标，由切线的性质得四点共圆，此圆的圆心为，直径为OP，得到此圆的方程，M、N既在此圆上，又在圆O上，2个方程联立，解出直线MN的方程，得出截距的值，再转化出P点坐标代入到椭圆中即可；法二：设出点P、M、N的坐标，利用直线的垂直关系，利用斜率列出等式，转化成直线PM和直线PN的方程，从而得到直线MN的方程.
试题解析：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，
设椭圆E的方程为           2分
由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|
∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，
∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)，          4分
将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得
∴所求的椭圆E的方程为                      5分
（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则
即点Q在直线上，                             7分
∴点Q即直线与椭圆E的交点，
∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，
∴满足条件的点Q存在，且有两个．                          9分
解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则
即，   ①                       -7分
又∵点Q在椭圆E上，∴，        ②
由①式得代入②式并整理得：，  -③
∵方程③的根判别式，
∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个．       9分
（3）解法一：

设点，由M、N是的切点知，,
∴O、M、P、N四点在同一圆上，                     10分
且圆的直径为OP,则圆心为，
其方程为，               11分
即  -④
即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，
∴M、N坐标也满足方程       -⑤
⑤-④得直线MN的方程为，               12分
令得，令得，                 13分
∴，又点P在椭圆E上，
∴，即=定值.                 14分
解法二：设点则     10分
直线PM的方程为化简得      ④
同理可得直线PN的方程为       -⑤         11分
把P点的坐标代入④、⑤得
∴直线MN的方程为，                           12分
令得，令得，                      13分
∴，又点P在椭圆E上，
∴，即=定值．                      -14分