Question

【题目】已知函数.

（1）若且，求的单调区间；

（2）若在处取得最大值，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）.

【解析】

当时，求得函数的导数，利用导数的符号，即可求解函数的单调区间；

求得函数导数，构造新函数，求得的导数，分，，，四种情况讨论，求得的单调性与最值，得出单调性，即可求解的极值，进而得到的范围.

当时，，

则，

，

令，

，

∴在单调递增，在单调递减.

由已知得，

则，

记，

则，，

①当，时，

，函数单调递增，

所以当时，，

当时，，

所以在处取得极小值也是最小值，不满足题意.

②当时，时，

，函数单调递增.

可得当时，，

当时，，

所以在处取得极小值也是最小值，不满足题意.

③当时，当时，

，函数单调递增，

时，，

在内单调递减，

所以当时，，

单调递减，不合题意.

④当时，即，当时，

，单调递减，

，当时，

，单调递减，，

所以在处取得极大值也是最大值，符合题意.

综上可知，实数的取值范围为.