Question

【题目】如图，等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.

（1）证明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，设的中点为，可证，，由线面垂直的判定定理可知平面，于是即可证明；

（2）由勾股定理可证，建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角，由此即可求出二面角的大小．

（1）连接，

设的中点为，

∵，，

∴四边形为平行四边形，∴，

∴，为等边三角形，

∴，，折叠后，，

又，∴平面，

又平面，∴.

（2）由已知得，

又，∴，，

又，，则平面，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，

∴，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令得，

又平面，∴为平面的一个法向量，

设二面角为，则，

由图可知二面角为钝角，所以.