Question

已知，n∈N＋，An＝2n2，Bn＝3n，试比较An与Bn的大小，

并加以证明．

 

Answer 1

n∈N＋时，An<Bn成立

【解析】当n＝1时：A1＝2，B1＝3，有A1<B1；

当n＝2时：A2＝8，B2＝9，有A2<B2；

当n＝3时：A3＝18，B3＝27，有A3<B3.

由上可归纳出当n∈N＋时，都有An<Bn.

下面用数学归纳法证明(下面只证n≥2时成立)：

(1)当n＝2时，由上可知不等式成立．

(2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥1)时不等式成立，即2k2<3k，

则3k＋1＝3×3k＝3k＋3k＋3k>2k2＋2k2＋2k2.

由于2k2≥4k (k≥2)，2k2>2，

所以3k＋1>2k2＋2k2＋2k2>2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，

这表明，当n＝k＋1时，不等式也成立．

综合(1)、(2)可知，n∈N＋，n≥2时，都有An<Bn成立．

综上可知n∈N＋时，An<Bn成立．