Question

10．已知不等式$\frac{x-2}{ax-1}$＞0的解集是（-1，2），则二项式（ax-$\frac{1}{ax}$）⁸的展开式中的常数项为70．

Answer 1

分析 先由条件求得a=-1，可得二项式（ax-$\frac{1}{ax}$）⁸ 的通项公式，令x的幂指数等于零，求得r=4，故二项式（ax-$\frac{1}{ax}$）⁸的展开式中的常数项为${C}_{8}^{4}$．

解答 解：由不等式$\frac{x-2}{ax-1}$＞0，可得（x-2）（ax-1）＞0，再根据它的解集是（-1，2），
可得$\frac{1}{a}$=-1，求得a=-1．
二项式（ax-$\frac{1}{ax}$）⁸ =（-x+$\frac{1}{x}$ ）⁸ 的通项公式为T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（-1）^8-r•x^8-2r，
令8-2r=0，求得r=4，故二项式（ax-$\frac{1}{ax}$）⁸的展开式中的常数项为${C}_{8}^{4}$=70，
故答案为：70．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．