Question

（2012•湘潭模拟）设函数f（x）=Acosωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中△PQR为等腰直角三角形，∠PQR=

π

2

，PR=1．求：
（1）函数f（x）的解析式；
（2）函数y=f(x)-

1

4

在x∈[0，10]时的所有零点之和．

Answer 1

分析：（1）先利用函数图象确定函数的周期，从而确定ω的值，再利用△PQR为等腰直角三角形，求得函数f（x）的振幅A，从而确定函数解析式；
（2）先解方程f（x）=

1

4

，得x=2k+

1

3

或x=2k+

5

3

（k∈Z），再令k=0，1，2，3，4，即可得x∈[0，10]时的所有零点，求和即可

解答：解：（1）由已知PR=1，
∴T=2=

2π

ω

，∴ω=π
∵△PQR为等腰直角三角形，
∴Q到x轴的距离即为A=

1

2

∴f(x)=

1

2

cosπx；     
（2）由f(x)-

1

4

=0，得cosπx=

1

2

，故x=2k+

1

3

或x=2k+

5

3

（k∈Z），
所以当x∈[0，10]时的所有零点之和为S=(

1

3

+

5

3

)+(

7

3

+

11

3

)+…+(

25

3

+

29

3

)=50．

点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，由其部分函数图象，求参数值的方法和技巧，简单的三角方程的解法，属基础题