Question

（2012•湘潭模拟）过点P₀（1，0）作曲线C：y=x³（x∈（0，+∞））的切线，切点为Q₁，过Q₁作x轴的垂线交x轴于点P₁，又过P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，过Q₂作x轴的垂线交x轴于点P₂，…，依次下去得到一系列点Q₁，Q₂，Q₃，…，设点Q_n的横坐标为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）①求和S=

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

；
②求证：an＞1+

n

2

(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）求导函数，若切点是Qn(an，

a

3 n

)，则切线方程为y-

a

3 n

=3

a

2 n

(x-an)，根据当n=1时，切线过点P₀（1，0），即0-

a

3 1

=3

a

2 1

(1-a1)，从而可得a1=

3

2

，当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），即0-

a

3 n

=3

a

2 n

(an-1-an)，从而可得an=

3

2

an-1(n＞1)，进而可知数列{a_n}是首项为

3

2

，公比为

3

2

的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）①根据Sn=

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

+

n

an

，利用错误相减法即可求S；
②证法1：利用二项式定理进行证明；证法2：用数学归纳法

解答：（1）解：∵y=x³，∴y'=3x²，
若切点是Qn(an，

a

3 n

)，则切线方程为y-

a

3 n

=3

a

2 n

(x-an)，…（1分）
当n=1时，切线过点P₀（1，0），即0-

a

3 1

=3

a

2 1

(1-a1)，因为a₁＞0，所以a1=

3

2

，…（2分）
当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），即0-

a

3 n

=3

a

2 n

(an-1-an)，
依题意a_n＞0，所以an=

3

2

an-1(n＞1)，
所以数列{a_n}是首项为

3

2

，公比为

3

2

的等比数列，所以an=(

3

2

)n；  …（4分）
（2）①解：记Sn=

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

+

n

an

，因为

1

an

=

2

3

•

1

an-1

，
所以

2

3

Sn=

1

a2

+

2

a3

+…+

n-1

an

+

n

an+1

，…（5分）
两式相减，得

1

3

Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

-

n

an+1

=

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-n(

2

3

)n+1=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n(

2

3

)n+1=2[1-(

2

3

)n]-n(

2

3

)n+1，…（7分）
∴Sn=

n

i=1

i

ai

=6[1-(

2

3

)n]-3n(

2

3

)n+1=6-2(n+3)(

2

3

)n；     …（9分）
②证法1：an=(1+

1

2

)n=

C

0 n

+

C

1 n

•

1

2

+

C

2 n

(

1

2

)2+…+

C

n n

(

1

2

)n＞

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2

)=1+

n

2

(n≥2)．                             …（13分）
证法2：当n=2时，a2=(

3

2

)2=

9

4

=1+

5

4

＞1+

2

2

，…（10分）
假设n=k时，结论成立，即ak＞1+

k

2

，
则ak+1=

3

2

ak＞

3

2

(1+

k

2

)=1+

1

2

+

3

2

•

k

2

＞1+

1

2

+

k

2

=1+

k+1

2

，
即n=k+1时，ak+1＞1+

k+1

2

，…（12分）
综上，an＞1+

n

2

对n≥2，n∈N^*都成立．                   …（13分）

点评：本题考查导数的几何意义，考查数列的求和与不等式的证明，解题的关键是确定数列的通项，根据通项的特点利用错位相减法．