Question

如果双曲线的两个焦点分别为F₁（-3，0），F₂（3，0），一条渐近线方程为：y=

2

x
（1）求该双曲线的方程；
（2）过焦点F₂，倾斜角为

π

3

的直线与该双曲线交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析：（1）依题意设出双曲线方程，根据焦点坐标求得c，根据渐近线方程求得a和b的关系，进而根据a，b和c的关系求得a和b，则双曲线方程可得．
（2）根据直线的倾斜角可知直线的斜率，根据点F₂进而可得直线AB的方程，设A，B的坐标，把直线方程与双曲线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，进而根据弦长公式求得AB的长．

解答：解：（1）依题意：设该双曲线的方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1
则：

b a = 2 c=3

，?

a2=3 b2=6

∴

x2

3

-

y2

6

=1为所求．
(2)由题意知直线AB的方程为y=

3

(x-3)
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y= 3 (x-3) x2 3 - y2 6 =1

得x2-18x+33=0
∴x₁+x₂=18，x₁x₂=33
∴|AB|=

[1+( 3 )2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4(182-4•33)

=16

3

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．