Question

9．在平面四边形ABCD中，E为BC的中点，且EA=1，ED=$\sqrt{3}$．若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-1，则$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{DC}$的值是-1．

Answer 1

分析 以E为原点建立坐标系，设出各点坐标，根据条件列方程，得出B点坐标，代入向量的数量积公式化简即可．

解答 解：以E为原点，以BC为x轴建立平面直角坐标系，
∵EA=1，ED=$\sqrt{3}$，
∴A在以E为圆心，以1为半径的圆上，D在以E为圆心，以$\sqrt{3}$为半径的圆上，
设A（cosθ，sinθ），B（-a，0），C（a，0），D（$\sqrt{3}$cosα，$\sqrt{3}$sinα），
则$\overrightarrow{AB}$=（-a-cosθ，-sinθ），
$\overrightarrow{AC}$=（a-cosθ，-sinθ），
$\overrightarrow{BD}$=（$\sqrt{3}$cosα+a，$\sqrt{3}$sinα），
$\overrightarrow{DC}$=（a-$\sqrt{3}$cosα，-$\sqrt{3}$sinα），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=cos²θ-a²+sin²θ=1-a²=-1，∴a²=2，
∴$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{DC}$=a²-3cos²α-3sin²α=2-3=-1．
故答案：-1

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系，将向量运算转化为坐标运算是关键，属于中档题．