Question

已知函数y=a^x-|x|-1（a＞0且a≠1）有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[e，+∞）
• B、（0，

  1

  e

  ]
• C、（0，

  1

  e

  ]∪[e，+∞）
• D、[

  1

  e

  ，1）∪（1，e]

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：由于x=0为函数的一个零点，∴要求在其余范围内无零点，即要求（1）在a＞1时，a^x＞x+1恒成立；（2）0＜a＜1时，a^x＜-x+1恒成立．分别利用导数可求．

解答： 解：由于x=0为函数的一个零点，∴要求在其余范围内无零点，
即要求（1）在a＞1时，a^x＞x+1恒成立；（2）0＜a＜1时，a^x＜-x+1恒成立．
对于（1），令g（x）=a^x-x-1，g′（x）=a^xlna-1，g″（x）=a^x（lna）²＞0，
故g′（x）单调递增，只需g′（0）=lna-1≥0，即a≥e；
对于（2），令h（x）=a^x+x-1，h′（x）=a^xlna+1，h（0）=0，故在x∈（-∞，0）内，h′（x）≤0恒成立，
h′（x）=a^xlna+1，h″（x）=a^x（lna）²＞0，故只需h′（x）=lna+1≤0，即0＜a≤

1

e

．
综上，实数a的取值范围是（0，

1

e

]∪[e，+∞），
故选C．

点评：该题考查函数的零点判定定理、利用导数研究函数的单调性等知识，属中档题．