Question

某乡镇所属A村、B村、C村位于一个边长为a公里的正三角形的三顶点上，乡镇在对外经济改革开放政策中已获得一外资项目，准备在位于∠BAC的角平分线上的选址E处（记∠EBD=θ），修建一农副产品加工厂，要求使得E到三村的中敦f（θ）尽可能的小．
（1）试求出f（θ）关于θ的函数关系式；
（2）间θ为何值时，f（θ）最小？试述理由．

Answer 1

分析：（1）利用θ表示BE、ED，进而可得f（θ）关于θ的函数关系式；
（2）构造函数g(θ)=

2-sinθ

cosθ

（0≤θ≤

π

3

），求导函数，求得θ=

π

6

时，g(θ)=

2-sinθ

cosθ

取得最小值，从而可得f（θ）最小值及θ的值．

解答：解：（1）由题意得cosθ=

a 2

BE

，sinθ=

ED

BE

，
∴BE=

a

2cosθ

，ED=

asinθ

2cosθ

∴f（θ）=2BE+

3

2

a-ED=

a

2

•

2-sinθ

cosθ

+

3

2

a（0≤θ≤

π

3

）；
（2）构造函数g(θ)=

2-sinθ

cosθ

（0≤θ≤

π

3

），
∴g′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

（0≤θ≤

π

3

）；
令g′（θ）=0，可得sinθ=

1

2

，
∵0≤θ≤

π

3

，∴θ=

π

6

当0≤θ＜

π

6

时，g′（θ）＜0，函数单调递减，
当

π

6

＜θ≤

π

3

时，g′（θ）＞0，函数单调递增
所以θ=

π

6

时，g(θ)=

2-sinθ

cosθ

取得最小值g(

π

6

)  =

3

因为a＞0，所以g(θ)=

2-sinθ

cosθ

取得最小值时，f（θ）最小为

3

a，此时θ=

π

6

点评：本题考查利用导数知识解决实际问题，考查函数模型的确立，解题的关键是利用导数求得函数的单调性与最值．