Question

某乡镇所属A村、B村、C村位于一个边长为a公里的正三角形的三顶点上，乡镇在对外经济改革开放政策中已获得一外资项目，准备在位于∠BAC的角平分线上的选址E处（记∠EBD=θ），修建一农副产品加工厂，要求使得E到三村的中敦f（θ）尽可能的小．
（1）试求出f（θ）关于a的函数关系式；
（2）间θ为何值时，f（θ）最小？试述理由．

Answer 1

解：（1）由题意得，，
∵
∴f（θ）=2BE+a﹣ED=（0≤θ≤）；
（2）构造函数（0≤θ≤），
∴（0≤θ≤）；
令g'（θ）=0，可得sinθ=，
∵0≤θ≤，
∴θ=
当0≤θ＜时，g'（θ）＜0，函数单调递减，
当＜θ≤时，g'（θ）＞0，函数单调递增
所以θ=时，取得最小值
因为a＞0，所以取得最小值时，f（θ）最小为a，
此时θ=。