Question

某乡镇所属A村、B村、C村位于一个边长为a公里的正三角形的三顶点上，乡镇在对外经济改革开放政策中已获得一外资项目，准备在位于∠BAC的角平分线上的选址E处（记∠EBD=θ），修建一农副产品加工厂，要求使得E到三村的中敦f（θ）尽可能的小．
（1）试求出f（θ）关于θ的函数关系式；
（2）间θ为何值时，f（θ）最小？试述理由．

Answer 1

解：（1）由题意得，，
∴
∴f（θ）=2BE+a-ED=（0≤θ≤）；
（2）构造函数（0≤θ≤），
∴（0≤θ≤）；
令g′（θ）=0，可得sinθ=，
∵0≤θ≤，∴θ=
当0≤θ＜时，g′（θ）＜0，函数单调递减，
当＜θ≤时，g′（θ）＞0，函数单调递增
所以θ=时，取得最小值
因为a＞0，所以取得最小值时，f（θ）最小为a，此时θ=
分析：（1）利用θ表示BE、ED，进而可得f（θ）关于θ的函数关系式；
（2）构造函数（0≤θ≤），求导函数，求得θ=时，取得最小值，从而可得f（θ）最小值及θ的值．
点评：本题考查利用导数知识解决实际问题，考查函数模型的确立，解题的关键是利用导数求得函数的单调性与最值．