Question

7．设a＞0，定义函数C（x）=$\frac{{a}^{x}+{a}^{-x}}{2}$，S（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{2}$，求证；
（1）S（2x）=2S（x）C（x）；
（2）S（x+y）=S（x）C（y）+S（y）C（x）．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用分数指数幂的性质和运算法则能证明S（2x）=2S（x）C（x）．
（2）由已知条件利用分数指数幂的性质和运算法则能证明S（x+y）=S（x）C（y）+S（y）C（x）．

解答 证明：（1）∵a＞0，定义函数C（x）=$\frac{{a}^{x}+{a}^{-x}}{2}$，S（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{2}$，
∴S（2x）=$\frac{{a}^{2x}-{a}^{-2x}}{2}$=$\frac{（{a}^{x}+{a}^{-x}）（{a}^{x}-{a}^{-x}）}{2}$
=2×$\frac{{a}^{x}+{a}^{-x}}{2}$×$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{2}$=2S（x）C（x），
∴S（2x）=2S（x）C（x）．
（2）S（x+y）=$\frac{{a}^{x+y}-{a}^{-x-y}}{2}$，
S（x）C（y）+S（y）C（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{2}×\frac{{a}^{y}+{a}^{-y}}{2}$+$\frac{{a}^{y}-{a}^{-y}}{2}×\frac{{a}^{x}+{a}^{-x}}{2}$
=$\frac{{a}^{x+y}-{a}^{-x+y}+{a}^{x-y}-{a}^{-x-y}}{4}$+$\frac{{a}^{x+y}-{a}^{-x+y}+{a}^{y-x}-{a}^{-x-y}}{4}$=$\frac{{a}^{x+y}-{a}^{-x-y}}{2}$．
∴S（x+y）=S（x）C（y）+S（y）C（x）．

点评 本题考查等式的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质和运算法则的合理运用．